Rumus Aljabar Sederhana yang sangat Bermanfaat untuk Berhitung Cepat
Mari kita ingat-ingat lagi ketika kita awal-awal mengenal aljabar. Mungkin saat itu kita sedang duduk di kelas 1 SMP. Hmmm….aljabar? Apakah gerangan? Selama kita belajar di SD, sedikit sekali atau bahkan tidak pernah sama sekali mengenal aljabar.Padahal kita tahu bahwa aljabar adalah salah satu cabang dari matematika yang sangat penting.
Karena itu, APIQ senantiasa terus berinovasi untuk memperkenalkan aljabar kepada anak-anak kita dengan cara yang menyenangkan. Agar lebih menarik, aljabar kita kenalkan sebagai kesatuan utuh dengan aritmetika dan geometri.
Sebagimana telah kita ketahui bahwa APIQ selalu fokus untuk berinovasi dalam pembelajaran matematika kreatif. Matematika memiliki tiga anak kandung: aritmetika, geometri, dan aljabar. Kelak matematika terus berkembang dengan lahirnya disiplin statistik, kalkulus, matrik, dan lain-lain.
Mari kita bermain dengan rumus dasar aljabar. Ini lah rumus paling populer ketika kita berkenalan dengan aljabar:
(x+y).(x+y) = x.(x+y) + y(x+y)
= x^2 + xy + xy + y^2
= x^2 + 2xy + y^2
Para siswa pemula, umumnya, mengharapkan bahwa hasil akhir operasi aljabar di atas hanya berupa dua suku:
x^2 + y^2
Tetapi yang benar memang terdiri dari tiga suku:
x^2 + 2xy + y^2
Berikut ini adalah rumus aljabar yang juga sangat terkenal dan hasil akhirnya terdiri dari dua suku:
(x+y).(x-y) = x.(x-y) + y.(x-y)
= x^2 – xy + xy – y^2
= x^2 – y^2
Sekarang mari kita mainkan identitas rumus aljabar di atas untuk berhitung cepat (aritmetika/aritmatika).
Hitunglah
63^2 – 62^2 = ???
= 125.
Kok bisa?
63^2 – 62^2 = (63 + 62).(63 – 62)
= 125. 1 = 125 (Selesai.)
Contoh:
76^2 – 75^2 = ???
= …. = 151 (Selesai.)
Caranya:
76^2 – 75^2 = (76+75).(76 – 75)
= 151 (Selesai).
Bagaimana dengan:
83^2 – 81^2 = ???
= (83+81)(83-81)
= 164.2 = 328 (Selesai).
Mari kita coba dengan bentuk soal aritmetika yang berbeda:
23 x 17 = ???
= (20 + 3)(20 – 3)
= 20^2 – 3^2
= 400 – 9 = 391 (Selesai).
28 x 32 = ???
= (30 – 2)(30 + 2)
= 900 – 4 = 896 (Selesai).
65 x 75 = ???
= (70 – 5)(70 + 5)
= 4900 – 25 = 4875 (Selesai).
Silakan berlatih….
38 x 42 = …
74 x 66 = …
25 x 35 = …
(Jawab: 875, 4884, 1596).
Selamat bermain dengan matematika kreatif…
Selamat berpetualang…
Selamat bergembira…
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…
A. BENTUK ALJABAR dan UNSUR-UNSURNYA
Bentuk ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.
A. UNSUR - UNSUR ALJABAR
1. Variabel, Konstanta, dan Faktor
Perhatikan
bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut,
huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu
bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut
juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c,
..., z.
Adapun bilangan 9
pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku
dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat
variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p X q dengan
a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.
Pada bentuk
aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 X x atau 5x = 1 X
5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang
dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk
aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x
+ 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y
adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.
2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis
a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
Suku-suku sejenis
adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing
variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...
Suku tak sejenis
adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing
variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y,
...
b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ...
c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ...
d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ...
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.
B. OPERASI HITUNG PADA ALJABAR
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Pada
bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat
dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan
koefisien pada suku-suku yang sejenis.
2. Perkalian
Perlu
kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat
distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a X (b + c) = (a X
b) + (a X c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan,
yaitu a X (b – c) = (a X b) – (a X c), untuk setiap bilangan bulat a,
b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.
3. Perpangkatan
Coba
kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi
perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang
sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada
perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan
menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien
pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan
asli.
Perhatikan uraian berikut:
Pada
segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh
dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.
4. Pembagian
Hasil
bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan
terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut,
kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.
5. Substitusi pada Bentuk Aljabar
Nilai
suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan
sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.
6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar
Coba
kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih
bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk
menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan
menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian
faktor-faktor primanya. Perhatikan contoh berikut:
C. PECAHAN BENTUK ALJABAR
1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar
Suatu
pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang
dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan
penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk
aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut
pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.
2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal
a. Penjumlahan dan pengurangan
Pada
bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi
penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara
menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan
pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan
penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan
cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan
pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut:
b. Perkalian dan pembagian
Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan. Perhatikan contoh berikut:
c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar
Operasi
perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama.
Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar.
Perhatikan contoh berikut: